Der seltsame Fall der Münze, die auf der Seite landet

Die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen einer fairen Münze Kopf oder Zahl zu bekommen, wird oft als 50-50 angenommen. Diese Vorstellung basiert auf einer entscheidenden Annahme: Die beiden Seiten der Medaille sind gleich wahrscheinlich, und daher besteht für jedes Ergebnis – Kopf oder Zahl – eine Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent, dass es eintritt.

Have you ever lost a coin toss? In theory, the odds could have gone either way. The stakes may or may not have been low for you, but millions of dollars are regularly wagered on the outcome of the Super Bowl coin toss. But what if a coin lands on its side, rather than either heads or tails? Then who emerges victorious?

Haben Sie schon einmal einen Münzwurf verloren? Theoretisch hätten die Chancen in beide Richtungen gehen können. Der Einsatz mag für Sie niedrig gewesen sein oder auch nicht, aber regelmäßig werden Millionen von Dollar auf den Ausgang des Super Bowl-Münzwurfs gesetzt. Was aber, wenn eine Münze auf der Seite landet und nicht entweder Kopf oder Zahl? Wer geht dann als Sieger hervor?

In this mini-lecture, L. Mahadevan, de Valpine professor of applied mathematics, organismic and evolutionary biology, and physics, explores the probability of a coin toss in which the coin lands on its side, using it as a metaphor to discuss the role of chance and mathematics in understanding the world around us.

In dieser Minivorlesung untersucht L. Mahadevan, de Valpine-Professor für angewandte Mathematik, Organismische und Evolutionsbiologie sowie Physik, die Wahrscheinlichkeit eines Münzwurfs, bei dem die Münze auf der Seite landet, und verwendet sie als Metapher, um die Rolle zu diskutieren des Zufalls und der Mathematik beim Verständnis der Welt um uns herum.

The probability of getting heads or tails when tossing a fair coin is often understood as 50-50. This notion is based on a critical assumption: the two sides of the coin are equally likely, and therefore each outcome—heads or tails—has a 50 percent chance of occurring.

Die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen einer fairen Münze Kopf oder Zahl zu bekommen, wird oft als 50-50 angenommen. Diese Vorstellung basiert auf einer entscheidenden Annahme: Die beiden Seiten der Medaille sind gleich wahrscheinlich, und daher besteht für jedes Ergebnis – Kopf oder Zahl – eine Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent, dass es eintritt.

Building on the simple coin toss, imagine gluing multiple coins together into a stack. As the stack becomes taller, the chance of landing on its side increases significantly, changing the probability dynamics completely.

Stellen Sie sich vor, Sie bauen auf dem einfachen Münzwurf auf und kleben mehrere Münzen zu einem Stapel zusammen. Je höher der Stapel wird, desto größer ist die Chance, auf der Seite zu landen, was die Wahrscheinlichkeitsdynamik völlig verändert.

As the stack grows taller, approaching a mile long, the likelihood of the coin landing on its side approaches nearly 100 percent. Thus, the probability of it landing on heads or tails reduces dramatically, until gravity defines it as zero.

Wenn der Stapel höher wird und eine Meile lang wird, nähert sich die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf der Seite landet, fast 100 Prozent. Dadurch verringert sich die Wahrscheinlichkeit, dass es auf Kopf oder Zahl landet, drastisch, bis die Schwerkraft es auf Null setzt.

As Mahadevan explains, it’s possible to create a coin where the probability of heads, tails, and landing on its side are equal. About eight coins glued together to form a stack will produce an equal probability for all three scenarios, with approximately a one-third chance of each outcome.

Wie Mahadevan erklärt, ist es möglich, eine Münze zu erschaffen, bei der die Wahrscheinlichkeit von Kopf, Zahl und Landung auf der Seite gleich ist. Etwa acht zu einem Stapel zusammengeklebte Münzen ergeben in allen drei Szenarien die gleiche Wahrscheinlichkeit, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis bei etwa einem Drittel liegt.

On one hand, the trajectory of a coin in flight is governed by Newton’s laws of motion, which can be precisely predicted. On the other, uncertainty—whether the coin lands heads, tails, or on its side—is an inherent part of the process, determined by initial conditions and the interplay of forces such as gravity and air resistance. By understanding and manipulating parameters such as shape, size, and mass, we can influence outcomes—effectively “tilting the odds” in our favor.

Einerseits wird die Flugbahn einer Münze durch Newtons Bewegungsgesetze bestimmt, die genau vorhergesagt werden können. Andererseits ist die Ungewissheit – ob die Münze „Kopf“, „Zahl“ oder auf der Seite landet – ein inhärenter Teil des Prozesses und wird durch die Anfangsbedingungen und das Zusammenspiel von Kräften wie Schwerkraft und Luftwiderstand bestimmt. Indem wir Parameter wie Form, Größe und Masse verstehen und manipulieren, können wir die Ergebnisse beeinflussen und so die Chancen effektiv zu unseren Gunsten verändern.

In a larger sense, this observation invites us to consider how deterministic laws and randomness co-exist in nature. Although the laws of physics always hold, we can sometimes wield an understanding of these rules to achieve a desired outcome—an outcome that might seem impossible or improbable.

Im weiteren Sinne lädt uns diese Beobachtung dazu ein, darüber nachzudenken, wie deterministische Gesetze und Zufälligkeit in der Natur nebeneinander existieren. Obwohl die Gesetze der Physik immer gelten, können wir diese Regeln manchmal verstehen, um ein gewünschtes Ergebnis zu erzielen – ein Ergebnis, das unmöglich oder unwahrscheinlich erscheint.

In his course General Education 1190: “Wonder Why: Science as a Culture of Curiosity,” last offered in the spring of 2024, Mahadevan encouraged his students to think critically and to question the assumptions underlying what they observe. He assigned them an experiment to investigate the relationship between the length of a cylindrical object and the probability of it landing on its side.

In seinem Kurs General Education 1190: „Wonder Why: Science as a Culture of Curiosity“, der zuletzt im Frühjahr 2024 angeboten wurde, ermutigte Mahadevan seine Studierenden, kritisch zu denken und die Annahmen zu hinterfragen, die ihren Beobachtungen zugrunde liegen. Er beauftragte sie mit einem Experiment, um den Zusammenhang zwischen der Länge eines zylindrischen Objekts und der Wahrscheinlichkeit, dass es auf der Seite landet, zu untersuchen.

By varying the length of rods and conducting numerous trials, the students gathered thousands of data points, which were then compared to theoretical predictions. The experimental results closely aligned with the theory, emphasizing the power of mathematics to describe the world accurately.

Indem die Schüler die Länge der Stäbe variierten und zahlreiche Versuche durchführten, sammelten sie Tausende von Datenpunkten, die dann mit theoretischen Vorhersagen verglichen wurden. Die experimentellen Ergebnisse stimmten eng mit der Theorie überein und betonten die Fähigkeit der Mathematik, die Welt genau zu beschreiben.

In the sonnet that Mahadevan shared with his students, he used poetry to capture the essence of these ideas. The humble coin, traveling in “parabolic flight” as dictated by Newton’s laws, becomes a symbol of the delicate balance between certainty and uncertainty.

In dem Sonett, das Mahadevan mit seinen Schülern teilte, nutzte er Poesie, um die Essenz dieser Ideen festzuhalten. Die bescheidene Münze, die gemäß Newtons Gesetzen im „Parabelflug“ reist, wird zum Symbol für das empfindliche Gleichgewicht zwischen Gewissheit und Ungewissheit.

“See the humble coin in parabolic flighton a path prescribed by Newton's laws.While outcomes flicker in the clearest lightUncertainty reigns and gives one pause.

„Sehen Sie sich die bescheidene Münze im Parabelflug auf einem durch Newtons Gesetze vorgeschriebenen Weg an. Während die Ergebnisse im klarsten Licht flackern, herrscht Unsicherheit und lässt einen innehalten.

A cylinder long may land upon its side“I wonder why,” pondered students' minds.The ratio of width to the diameter does abide,Which von Neumann cleverly into thirds assigned.

Ein langer Zylinder könnte auf der Seite landen. „Ich frage mich, warum“, grübelten die Schüler. Das Verhältnis von Breite zu Durchmesser bleibt bestehen, was von Neumann geschickt in Drittel aufteilte.

But chance is not maximally blind,And angular momentum unlocks the key.In precessions where biases unwind,The coin's true fate might not what it seems be.

Aber der Zufall ist nicht völlig blind, und der Drehimpuls gibt den Schlüssel frei. In Präzessionen, in denen sich Vorurteile auflösen, ist das wahre Schicksal der Münze möglicherweise nicht das, was es zu sein scheint.

From the Gen Ed view, every motion we discern,Shows magic where physics and chance turn.”

Aus der Sicht der Gen Ed zeigt jede Bewegung, die wir wahrnehmen, Magie, wo sich Physik und Zufall drehen.“